一、一篇数学文本不关于根本
从严格意义上讲，数学不能说及根本。根是不可对象化的。数学只处理一种特殊类型的显现：形式、结构、规律、不可变的关系。
数学中没有任何一个对象是根本。数不是，函数不是，空间不是，证明也不是。它们都是已经被分辨、被识别、由有限符号写成的显现。
根与数学之间，因而不可能是一种“数学描述根本”的关系。那只是一种隐秘的幻觉。似乎只要构造出足够大的结构，最终就能触及世界之根。
数学之所以强大，恰恰因为它不以这种幻觉为前提。它只在显现范围内活动，却把显现推向最高的精确性。
二、何以数学又最接近根
有一种常见的印象：数学是冷的，也是最接近根本的。这不是没有原因的。
在根思想的框架里，显现分为可见与不可见。逻辑、数、语言、方向、觉性，都属于不可见却可辨识之物。而数学处在“不可见—可辨识”一极的顶端。
数学的真，不像石头一样可见。但它的辨识性极强。一个定理或真或不真。一个结构或相容或不相容。这种不由个人意志左右的性质，使它成为显现世界中最稳定、最不易离散的一层。
所以，数学不是根本。但数学是根在显现世界中所给出的、最薄、最冷、最硬的一道影子。
三、偏斜与不对称性：一种结构性共鸣
根本地看，完全对称的同不可见。要显现，必须出现极轻的偏斜。偏斜是显现的第一条件。
数学与这一原则之间的回应，比预想的更深。
数学中，完美对称的结构高度简洁，却大多不可触及、不可测量、不可经验。
有内容、有辨识性的结构，几乎都是一种破缺之后的形态：某个边界破坏了原始对称，某种运算区分了原始等值性。
比如：一个平凡群是对称的，却是空的。一个结构丰富的数学对象，几乎总有一种不对称性藏在其中。非对称性不是数学的病，而是数学显现的入口。
在根思想中，这根线被称为“偏斜”。
在数学中，它没有被如此命名。但它的痕迹无处不在。
四、关系先于实体：从对象走向结构
古典数学把自己看作“对象”的科学：数、图形、空间、集合。后来发现，对象本身越来越不重要，重要的是对象之间可被保持的关系。
尤其在范畴论出现之后，这一洞见被推到顶点。
范畴论不再关注一个东西“内部是什么”，而是关注它与另一个东西之间的映射。对象的同一性被悬置，取而代之的是关系、复合、等价与自然性。
这与根思想中“关系先于实质”的原则惊人地同调。
根系统说：实质不是关系的起点，而是关系的结晶。一个存在者并非先存在，然后进入关系；它恰恰是因为处在关系之中，才被认出是一个“这个东西”。
范畴论在完全不同的语言里，说出了同一件事：对象由它在关系网络中的位置得以定义。关系和结构先于对象而取得优先权。
这并不是说范畴论就是根思想。只是说，当数学走向足够抽象时，它不期然地抵达了一片与根思想相邻的地带。
五、不可穷尽性：显化不等于根的数学形态
根思想坚持：显化永不能穷尽根。圆不等同于π。手不等同于月。
数学在三个方向上，独立地证实了这种不可穷尽性。
1. 无理数与无穷展开
π是确定的，却无法被有限写尽。它的每一个小数位都是真实的，然而所有这些位加起来，仍然不能等于圆。显化——这里指十进制展开——可以无限接近，却永远不能触及。
2. 哥德尔不完备性
在形式系统中，有真的但不能被证明的命题。系统越强，它不能证明的东西越多。形式系统无法彻底抓住数学真理，正如语言无法彻底抓住根本。
这并非失败。这只是显现与根本之间那道缝隙，以逻辑形式重复出现。
3. 无穷的层级
有一个无穷，就有更高的无穷。没有最大的无穷。每一个结构性显化，都会打开一个更大的超出之物。想用“无限”来抓住数学实在，最终得到的不是根本，而是一个永无止境的上升。
这些都指向同一件事：
显现永不能完全弥合它与根本之间的鸿沟。
数学并不消除这一鸿沟。数学用极其清晰的语言，把这条鸿沟写了出来。
六、从根看数学的一个问题
根思想会把这样一个问题交给数学：
当你追求越来越高的精确性时，你是在接近根，还是在逃离根？
这并非嘲讽，而是从根的角度提出的质询。
数学有一种内在的倾向：结构不断增加，理论不断泛化，不断寻找更广的形式；仿佛依靠更多展开，有一天就能把根表现出来。
根思想提醒的是：数学的路径，是显化的路径。它走向的是更多的可辨识性，而不是根本身。
这不是错误的路径。恰恰相反，它是显现世界中最纯粹的一条路。但它不是回家之路。
数学提供更精细的指月之手。它永远不把月亮带入手中。
七、数学的存在论教训
数学也为根思想带来一个教训：
“空”不能作为不精确的借口。“空”也不能作为放弃显现的借口。
数学的严格性表明：在显现层内，有些东西具有不可变的结构，不因人的幻想或偏好而改变。显化不假。显化有其自身的规律、坚硬性与必然性。
根思想从数学这里，必须学会一重敬畏：
根可以空；
显现却不可草率对待；
空根不取消实在；
空根也不允许将现实当作任意涂抹的平面。
这是根思想与数学对话中最需要注意的平衡。
八、最后的判断
根与数学，不在同一层面。
数学是显现中最纯的一层。根则是显现之前、之后、以及所有显现无法触及之处。
二者不相依赖，却彼此映照：
数学向根思想表明，显现可以有多硬；
根思想向数学表明，在一切硬之外，还有一处不可抓住的虚位。
数学永远无法抵达根。
但数学可以成为最细的手，最远的指，最静的路标。
它在以逻辑的方式，重新证明那一句根系统最古老的话：
显化永远不等于根。
根不在数学之外。根也不在数学之中。根只是在那里，静候每一次从方程、证明、结构与无穷中，疲惫回头的人。
